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引言

力学是研究物体机械运动的科学，具体来讲，是研究物体如何运动、物体如何受力以及物体运动和受力之间关系的学科。流体力学也是如此，只是研究对象具体到了流体。传统的流体力学课本往往先讲完流体的运动（运动学）和受力（静力学），然后再讲解流体的动量方程（动力学），即流体运动和受力之间的关系。本讲义的顺序有所不同，因为学生在学习流体力学之前一般已经有了高中物理和大学普通物理的基础，所以是可以理解建立流体动力学方程的大致逻辑的，而在建立动力学方程的时候，会涉及到运动学和流体受力的问题，本讲义在此时再引出这些问题并讲解这些问题，这样读者在逻辑上更容易接受。

流体力学是一门研究流体的运动、流体的受力、流体运动和受力关系以及其他相关问题的学科。学习流体力学的基础概念和知识，往往需要读者掌握一定的数学和力学基础知识，其中包括微积分、大学物理、理论力学、材料力学等等。微积分为近现代的各类理工学科提供了强有力的数学工具，大学物理或者普通物理等课程会教一些比高中阶段更深一些的力学概念，理论力学和材料力学会涉及到更深刻的力学概念，这都是学习流体力学这门课的基础。然而，很多需要学习流体力学的读者，大部分也许有微积分和大学物理的基础，但是如果读者的专业不是和力学紧密相关的，很可能没有学过理论力学和材料力学，再或者，读者可能是在硕、博士研究生阶段甚至科研工作中需要用到流体力学，此时即使读者本、专科阶段是力学相关专业，由于时间太久可能也忘掉了很多力学基础知识。本讲义旨在为以上两类读者提供帮助，尽可能地详细讲解流体力学的基本概念和简单应用，希望可以加深他们对流体力学的理解，从而帮助他们的学业和科研。

本讲义默认读者的数学基础为“比较熟悉微积分的基本概念和计算”，默认读者的物理（力学）基础为“非常熟悉高中物理中的力学知识，大致了解大学物理的基础概念，基本没有学过理论力学和材料力学”。尽管本讲义默认读者掌握以上知识，但是在涉及到一些作者认为有必要再次复习或者读者可能遗忘的基础知识时，本讲义会额外补充，读者可以选择性阅读，这样既不会让本讲义过于冗长，也能照顾到初学者和基础较差的读者。

第一章 流体力学问题的引入以及必要的基础知识

1.1 从质点和微积分讲起（连续介质假设）

读者可以回忆一下，我们在高中物理中学习的力学其实是质点力学，就是，我们忽略物体的大小和形状，把物体看作一个带有质量的点（质点），然后研究它的运动规律。所以在高中物理的语境下，“物体”和“质点”在大部分情况下是同义词。当然，这个“质点假设”本身是有前提的，就是物体的大小和形状对所研究问题的影响可以忽略。比如我们要研究地球绕太阳旋转一圈需要多长时间，由于地球本身和地球绕太阳轨道的长度尺度相比可以忽略，所以在不要求那么高的准确度的情况下，我们可以忽略地球的大小、形状以及自转。但是对于流体，这样就行不通了。虽然现在大家还不知道“流体”的准确定义，但是大家也能直观地感觉到，流体是很容易发生形变的，一杯水中的水（常见的物质中，水和空气都是流体），在杯中是杯子的形状，倒到碗中就是碗的形状，而且流体的形变问题，本身就是我们所研究的重要问题。于是，在绝大部分情况下，我们并不能把一团流体看成一个质点来研究。

然而，高中阶段学的质点力学的牛顿三大定律对于我们研究流体也是有用的。读者在阅读此讲义时，已经有了微积分的思想，我们是可以用微积分的思想来考虑流体的。我们可以把一团流体看作是无数个流体质点的集合，这些流体质点紧密排列，在空间上无穷小且没有间隙，这样，一团流体就可以看作是无数个流体质点组成的，对于单个的流体质点，它是符合牛顿运动定律的，所以一团流体的某种物理特性就可以由无数个流体质点积分得到。这里的流体质点和高中所学的质点有一个不同点，那就是，高中所学的质点的质量是一个有限的值，流体质点是一个质量无穷小的点，积分成一团流体以后，一团流体的质量才是一个有限的值。当然，一些有较好力学基础的读者已经知道，若干质点可以组成一个系统（比如一团流体）的，针对系统也可以直接使用牛顿运动定律。

我们注意到，上一段话在描述流体质点时，已经默认流体质点在空间上是无穷小了。细心的读者会问，“这样不对吧，组成流体的原子和分子也是有限大小的而不是无穷小的，怎么就能把流体细分成无数个流体质点了呢？”。这就要提到连续介质假设了。同质点这个概念类似，连续介质也是一个理想化的物理模型，在经典流体力学当中，我们把流体看作是连续介质，就是，我们假设流体是连续可分的。虽然真实的流体并不是连续的而是由一个个间断的微观粒子组成，但是当我们所研究的问题的空间尺度足够大，大到远大于分子的大小或者分子的平均自由程，此时连续介质假设造成的误差是可以接受的。例如，标准状态下，空气分子的平均自由程大约为6.9×10^-8 m，此时如果我们研究直径1 cm的管道中空气的流动，把空气看作连续介质就是可以的，因为我们所研究问题的空间尺度比空气分子的平均自由程高了好几个数量级，从宏观上，完全可以把空气看作的连续的。对于我们日常生活和科研中的大部分问题，我们都可以把流体看作连续介质，不过也有例外，例如，在近地轨道运行的航天器，也会受到稀薄大气的作用力，此时就不能把空气看成连续介质了，因为此时空气分子间距很大，分子的平均自由程大约为10^-1 m量级，与航天器的大小尺度接近。

另外，正是有了连续介质的假设，我们才能使用微积分的数学工具来分析流体，在数学上，这样的假设也是有必要的。总的来讲，流体作为连续介质，组成其的流体质点要满足“宏观上足够小，微观上足够大”，即，从宏观上看，流体质点是占了空间上一个足够小的点，小到可以把它看成一个无穷小的点从而进行微积分运算；从微观上，这个点其实应该包括足够多的分子或原子，使得该点处的某些物理量达到统计平衡，比如我们如果要考察空间某一点处流体的温度，这个点可能落在了原子核上也可能落在了原子和原子的空隙中，微观上来讲温度在空间上是不连续的，所以在连续介质假设下，我们通常所指的温度是空间那一点处的一个包含了周围足够多原子或分子的小的空间邻域内的平均温度，这个小邻域即“宏观上足够小，微观上足够大”。